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曲线到底有多长?

2017-11-16 14:58  来源: 科普中国-科学原理一点通

生活中,到处都有曲线。我们要想知道一条线段的长度,只需用一把尺子测量以下,即可得到精确的数据。对于曲线的长度,我们也会自然而然地拿起尺子去量。假如尺子的长度为s,测量了n次,即可得出这条曲线的长度为sn。但需要注意的是,这个长度并不精确,不是这条曲线的真实长度,而是一个近似值,原因是在测量的过程中,每一小段之间的弯曲都被忽略了。因此我们测量的曲线长度要比实际的长度短少一些。

 

生活中曲线无处不在

 

尺长更短,则曲线的测量值更精确

 

既然测出的曲线值是个近似值,要想使它更接近于曲线的真实长度,就应该尽量地测量出那些被忽略的弯曲。我们可以改用更短的尺子去测量曲线,这样就会使原来那些被直线代替的一些弯曲尽可能多地被测量出来,测出的曲线长度就会更加接近于曲线的真实长度,且所用的尺子越短,测量值就越精确。当所用的尺子无限地缩短,直至趋向于0时,测量值就会接近于某个确定的值,这个值就可看作是这条曲线的真实长度。

 

圆周长原来就是多边形的周长

 

2000多年前,希腊的阿基米德就用上述的方法测算出圆周长。他测量圆周长所用的尺子,是一个圆内接正多边形的边长,用Sn表示,测量几次,就表明正多边形有几条边,用n表示,那么首尾相接测量n次,其周长就是nSn,这也就是用长为sn的尺子测量出来的圆周长。当内接正多边形的边数n越来越多时,其边长Sn就会越来越短,也就是测量圆周的尺长越来越短,它测量出的圆周长就会越来越精确,假如让n变得没法再大,或者尺长Sn几乎就是个0时,测量出的长度就成了圆的精确长度。

 

阿基米德与中国的割圆术

 

并不是所有的曲线均可测算其长度

 

生活中常见的一些曲线,如二次曲线的一段等,均可用上述方法测量出其“真实的长度”。但数学上曲线长度的定义是比较复杂的,如果仅仅简单地用直尺测量曲线的长度,很多情况下是行不通的,也就是说,这样的测量方法并不是对所有的曲线都有效,因为并不是所有曲线都能够用直尺来测量出其长度。

 

1.科赫曲线:一条无穷大的曲线

 

1904年,瑞典数学家科赫构造了一条曲线,其过程如下:

(1)取一条线段,其长度为1;

(2)把线段进行三等分中间的部分用一个等边三角形的两边来代替。这样,这条线段就变成了一条由4条小线段组成的折线,小线段的长度为原线段长度的1/3。再对每条小线段进行如上的步骤。

(3)上述步骤无限重复进行,最后就得到了一条曲线,我们称它为科赫曲线。

 

科赫与他的科赫曲线构造过程

 

那么,这条曲线的长度是多少呢?下面就测量一下:

我们如果用长度为1/3的尺子来测量,则需要测量4次,得到的长度为4/3;用长度为1/9的尺子测量,则需要测量16次,得到的长度为16/9;用长度为1/27的尺子测量,则需要测量64次,得到的长度为64/27……如果用长度为(1/3)的尺子测量,则需要测量4ⁿ次,得到的长度为(4/3)ⁿ。

从上面的测量过程中可以看出,n的值愈大,尺子的长度就愈短,测量出的长度就愈大,当n无限增大时,测量出来的长度也随着无限增大,根本就不会靠近某个确定的数值。这表明我们无法求出科赫曲线的长度,换句话说,科赫曲线是一条无穷长的曲线。

 

2.奇特的科赫雪花曲线:面积有限,周长无限

 

从上面的介绍可以看出,科赫曲线的长度无限长,一条看起来明明有头有尾的曲线,为什么它的长度无法求出呢?

(1)奇特的曲线

从表面上看,科赫曲线弯弯曲曲好像没有什么特别之处,但它却是一条奇特的曲线。

奇特之一就是科赫曲线有无限的长度,奇特之二是科赫曲线首尾相接可围成一个图形,呈雪花形状,被称为科赫雪花曲线,它围成的图形面积是有限的,可是周长却是无限的。奇特之三是科赫曲线上的任何一点均没有切线,处处不光滑。奇特之四是在科赫曲线上任取一小段,均可被无限拉长,但无论你怎么拉,它都是弯曲的,均拉不成一条直线。

 

美丽的科赫雪花曲线图

 

(2)科赫雪花曲线周长不可求出的奥秘

从以上的介绍可以看出,圆周和科赫雪花曲线均为首尾相接的曲线,均可求出面积,但圆周可求出其长度,而科赫雪花曲线却无法求出其长度,其原因是什么呢?将二者比较一下,即可看出它们本质上有很大区别:圆周是光滑的曲线,而科赫曲线却处处不光滑。所谓“光滑”,从数学的角度来讲,就是它处处有切线,在切点附近,曲线非常接近于直线。

把圆周上的一点进行局部放大,我们可以明显地看出,圆周上的一点附近很小的局部非常接近于直线,因此,我们就可以用小而直的尺子进行测量这一小段,应该是几乎无任何损失,得到的测量值误差几乎可以忽略不计。尺长越缩短,总测量值误差就越小,最终与圆周的实际长度一致。

与圆周不同,把科赫雪花曲线上的任何一小段进行放大,我们可以发现,它们个个都是整条曲线的复制品,与原曲线相似,与原曲线一样复杂,永远不会与直线近似,它上面再小的一段均不能用直尺来近似地替代,因此我们自然就不能用直尺测量出它的长度。

 

更奇特的曲线

 

在数学上,通常把任意小局部均与整体相似而,且与整体一样复杂的性质称为自相似性。现在对这些具有相似性的几何对象也赋予了一个新名字——分形。

科赫曲线尽管不可求长,但是,它的构造是比较有规律的,所以,上面的介绍我们大家都比较容易接受。但它并不是唯一一条不可求长的曲线,也不是最复杂的曲线。像这样处处不光滑,点点无切线、不可求长性质的曲线还有很多,而第一条这样的曲线是魏尔斯特拉斯曲线,是德国数学家魏尔斯特拉斯构造的,在这条曲线构造之前,在大多数人的意识里,一条曲线除少数点以外,其他地方应该都是光滑的、点点有切线的,其长度应该是可求出的。魏尔斯特拉斯曲线的诞生,打破了这种固有的认识和观念,在数学上可称得上是一大创举。不过魏尔斯特拉斯曲线比科赫曲线要复杂得多,我们一般人可能无法接受和难以想象。

 

魏尔斯特拉斯及魏尔斯特拉斯曲线

 

除此之外,还有更加奇特的曲线,例如,意大利数学家皮亚诺够早的皮亚诺曲线,它的奇特之处是,它居然能将整个正方形充满!难以想象吧?它的长度我们当然也是绝对不可求出的。

 

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作者: 科学原理一点通   [责任编辑: 吕芮光]