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黎曼猜想的重要意义

2017-08-25 09:25  来源: 科普中国-科学原理一点通

在数学界,有很多非常重要的数学难题至今没有被攻克和证明,黎曼猜想就是其中的一个。 提起“黎曼猜想”,大家可能仅仅是听说过,或者仅仅知道这个难题的名称而已,至于它究竟是什么问题,为什么如此重要,大多数人可能是一无所知。

 

德国数学家、物理学家黎曼

 

黎曼猜想的内容:它究竟是一个什么问题

 

黎曼猜想是由德国数学家、物理学家黎曼提出的。1859年黎曼发表一篇关于素数分布的论文,这篇论文中他研究了黎曼ζ函数,提出了著名的黎曼猜想。我们无法完全用初等的数学来描述黎曼猜想的内容,概略地讲,它是关于对一个名叫黎曼ζ函数的复变量函数(也就是变量和函数值均在复数域中取值的函数)的猜想。与其他很多函数一样,黎曼ζ函数在某些点上的取值为0,这些点被称之为黎曼ζ函数的0点。在这些0点当中,特别重要的一部分称为黎曼 ζ函数的非平凡0点。黎曼猜想的内容就是猜想这些非平凡的0点,全部分布在一条特殊的直线上,这条直线被称之为“临界线”,它是一条通过实轴的点1/2与虚轴平行的直线。

 

黎曼猜想是数学中最重要的猜想

 

黎曼猜想一直以来都是数学界最为重要的猜想之一,这是世界各国科学家们所公认的事实。

1900年夏天,在法国巴黎召开一次国际数学家大会。在这次会议上,德国著名的数学家希尔伯特做了题为“数学问题”的演讲,列出了一系列他认为最为重要的数学难题,引起了很多数学家的兴趣。

时隔100年,也就是2000年,美国克雷数学研究所的数学家们在巴黎也召开了一次数学会议,参加会议的科学家们也列出了他们自己认为最为重要的数学难题。虽然他们的声望远远不及希尔伯特,但为表明其重要性和鼓励攻克难题,他们为每个难题开设了100万美元的奖金。

这两次数学会议均在巴黎召开,遥相呼应,但最为引人瞩目的共同之处是,两次会议所列出的最为重要的数学难题当中,只有一个是相同的,那就是黎曼猜想,这足以说明它的重要性是许多科学家所公认的,而且它已被克雷数学研究所列为世界黄金问题之一。

 

为什么黎曼猜想如此重要?

 

黎曼猜想在数学界如此重要,是因为它很艰深吗?黎曼猜想的确非常艰深,但如果仅用艰深来衡量其重要性的话,那么与之相比,其他的一些数学猜想丝毫都不逊色。例如,科学家们前赴后继,经过350年以上的努力,才证明了费马猜想;哥德巴赫猜想的问世比黎曼猜想要早100多年,至今依然像黎曼猜想一样屹立不倒。

那么,究竟是什么原因让黎曼猜想称为最重要的数学猜想呢?

 

首先,黎曼猜想与其他数学命题之间存在着千丝万缕的联系

 

在目前的数学文献中,有1000多个数学命题是一黎曼猜想及其推广形式的成立为前提的,这就意味着,一旦黎曼猜想及其推广形式被证明,这些数学命题将会全部荣升为定理;与此相反,如果黎曼猜想被推翻,那么这1000多个数学命题中至少有一部分将会不可避免地成为“陪葬”品。牵一发而动全身,一个数学猜想竟然与这么多的数学命题紧密关联,可以在数学中是绝对是独一无二的。

 

其次,黎曼猜想与数论中的素数分布问题关系极为密切

 

数论作为一个极其重要的传统数学分支,曾被德国数学家高斯称作是“数学的皇后”,而素数分布问题则是数论中一个极为重要的传统课题,一直以来,素数分布问题就是众多科学家极为感兴趣的问题,这就使得黎曼猜想在科学家们心目中的地位和重要性大大提升。

 

还有,在研究黎曼猜想的过程中能产生一些对数学其他方面有贡献和影响的方法和结果。

 

这也是衡量一个数学猜想重要性的标准。其实在研究黎曼猜想的过程中,数学家们所取得的早期成果之一,就直接导致了素数定理得的证明,这是一个关于素数分布的重要命题。

 

最后,黎曼猜想超越了纯数学的范围而“侵入”到物理学的领地

 

20世纪70年代早期,人们就发现某些有关黎曼猜想的研究,与某些极为复杂的物理现象之间竟然有着显著的关联,这是最出人意料的事情。尽管这种关联的原因至今仍然是一个谜,但这种存在本身,无疑是更加增强了黎曼猜想的重要性。

 

黎曼猜想的研究进程

 

20世纪初,希尔伯特曾经说过,如果他能在沉睡1000年后醒过来,他关心和要问的第一个问题就是:黎曼猜想得到证明了吗?但现在100多年过去了,黎曼猜想既没有被证明,也没能被推翻,至今悬而未决。科学家们从分析和数值计算两方面入手,对其进行了大量而深入的研究。到目前为止,在分析方面,他们取得的最强结果是:证明了至少有40%的非凡0点位于“临界线”上。在数值计算方面,他们所取得的最强结果是:验证了前10万亿个非平凡0点,均位于那条特殊的“临界线”上。

尽管攻克黎曼猜想非常艰难,但它的重要性却引起全世界的数学家极大的兴趣,并为之付出艰辛的努力。美国数学家蒙哥马利曾经表示:“如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。”

 

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作者: 科学原理一点通   [责任编辑: 吕芮光]