数学：无限的比较

    科普中国——科学原理一点通

    1. 问题的提出：

    我们知道，全体正整数有无穷多个，正偶数也有无穷多个，而且全体正偶数是全体正整数的一部分．因此我们的问题是：全体正整数与正偶数都有无穷多个，它们是不是一样多呢？

    类似的，全体整数与全体自然数都是无穷多个，它们是不是一样多呢？

    三角形中，中位线的长度是底边长度的一半，三角形中位线上的点与底边上的点是不是一样多呢？

    2. 问题解决的方法：

    我们知道集合是指具有某种共同特性的对象的全体，其中，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合根据它含有的元素的个数分为两类：有限集，无限集．

    如何比较两个有限集所含元素个数是否相同呢？我们可以数一下每一个集合所含元素个数是多少，从所得数字是否相同就可以解决这个问题．

    那么，能不能不数也可以解决这个问题呢？例如

    ，.

    我们认真观察下表：

    可以发现，尽管不数，我们也知道集合与的元素个数是相同的．

    我们这里所用的“比较法”称之为“一一对应”：对于一个集合的每一个元素，在另一个集合中有且只有一个元素和它对应，反之亦然．这种方法我们可以用于无限集．

    因此，如何比较两个无限集的大小呢？类比两个有限集的比较法，尝试建立起两个无限集合之间的“一一对应”的关系．如果两个无限集的元素间能建立起某种“一一对应”关系，我们就说这两个无限集的元素一样多．

    3. 问题的解决：

    因此，对于一些无限集合，可以利用“一一对应”的方法，比较两个无限集中元素的“个数”．如，

    ⑴全体正整数与全体正偶数集一样多．

    ⑵全体自然数与全体整数一样多．

    ⑶两个同心圆周上的点一样多，如图1．

    ⑷三角形中位线上的点与底边上的点一样多，图2．

    ⑸两条线段上的点一样多，图3．

    ⑹一条线段上的点与一条直线上的点一样多，图4．

    4. 所有的无穷都一样多么？

    是否所有的无穷相互都可以建立起一一对应的关系呢？事实并非如此，如有理数有无限多个，无理数也有无限多个，而有理数与无理数不是一样多．

    ⑴ 正有理数与正整数一样多．

    我们知道，每个有理数都可以写成分数（m,n均为整数）的形式，所以可以把全体正有理数用下面的方阵排列出来，使无穷多个“无穷数列”排在一起，且在第n行，第m列．

    再按这样的顺序排起来：从1开始沿水平线向右走一下一个位置2，作为正有理数序列的第2个数．然后沿斜线向左下走到第二行第一列的，作为正有理数序列的第3个数．再垂直向下走到第三行第一列的，作为正有理数序列的第4个数……如图所示，依次走下去，得到序列：

    ，…．

    在这个序列中，如果分数的分子与分母有公因子，则消掉这个分数．所以每一个正有理数作为最简分数只在上面的序列中出现一次．所以我们得到新的数列：

    ，…．

    这个序列中包含每一个正有理数，且包含一次，所以正有理数与正整数一一对应，正有理数与正整数一样多．

    ⑵ 实数集是不可数的．

    数学家康托尔用反证法已证明这一结论是正确的，即实数集无法与正整数集建立一一对应关系．

    从而，我们得到了有理数集与无理数集的一个重要区别：有理数可数可列，无理数数不胜数．

    作者：董 武

    本作品为科普中国原创，转载时务请注明出处。