笛卡尔对不同坐标系建立的影响

    据说，有一天早晨，当笛卡尔在沉思的时候，看见一只苍蝇在墙上和天花板上到处乱爬。他想，苍蝇爬过的路径及形成的形状既可以通过持续追踪其路线而描述集合图形，也可以描述为代数上一系列的点。于是，为了描述平面上的点，他用两条有刻度而互相垂直的线或数轴设计出了现在叫做笛卡尔坐标的东西。笛卡尔当时给数轴的命名是，但是我们现在把横轴叫轴而纵轴叫轴。上面的传说可靠性无从考证，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人。这个有趣的传说，就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖改进了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感。

    应该说第一个对坐标作出描述的人是费马，他引入了斜坐标系，他告诉人们，任何一个二元方程定义了一条曲线。笛卡尔在《方法论》一书附录《几何学》所阐述的思想与费马基本相同。在平面上取一点，称作原点。过原点，作互相垂直的两条轴，一条轴上标以符号，另一条轴上标以符号。于是，平面上任意一点P都有一对距离确定，它告诉我们在分别平行于，轴的方向上，该点到原点的距离。平面上任一点用数对来表示，其中为沿横轴方向的距离，为沿纵轴方向的距离。这一数对就是这个点的坐标。坐标概念最大的贡献就在于：笛卡尔将曲线实为代数方程的直观表达，而不是将曲线视为用特定集合方法作出的图形。这样一来，任一关于和的方程都确定了可能的点。例如，若，点必须在到原点距离为1的位置。这样的点构成了一个以原点为圆心、半径为1的圆。我们说是这个圆的方程。每个方程都对应与平面上的某一条曲线；反之，每一条曲线都对应于某个方程。

    后世学者对笛卡尔坐标系作了进一步改进。在1643年的信中，费马吸收了笛卡尔的思想并将其拓展到三维。在信中，他提到了椭球面和抛物面等曲面，它们由三个变量的二次方程所确定。

    另外一个有影响的贡献是雅各.伯努利在1691年引进了极坐标系。他不用两条坐标轴，而是用一个角度和一个距离来确定平面上的点。其坐标为，极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，也就是公式。具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度制。这两个变量的方程同样确定了一条曲线。现在，用简单的方程就能表示出直角坐标系下非常复杂的曲线。例如，方程对应于一条螺线，它属于阿基米德螺线。用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线；也可以采用下面的方法：以适当长度为半径，画一圆；作一射线；作一点P于射线OA上；模拟A点沿圆O移动，点P沿射线OA移动；画出点P的轨迹；隐藏圆O、射线OA和点P；即可得到螺线。

    作者：张辉

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