数学上著名的“ABC猜想”

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    著名的“ABC猜想”究竟是什么鬼？

    提到“ABC”，你会想到什么？没错，它们是国人学习英语的入门级字母；现在，大家也会用它来戏称出生在美国的中国人（American Born Chinese）；但是，如果你立即想到的是中国农业银行（Agricultural Bank of China，简称ABC），我只能问候您：农行的员工，您吃了没？

    今天我们要说的是，数学上著名的“ABC猜想”，保证你看了不是似曾相识的轻松，而是不知所云的头疼。那么，什么是“ABC猜想”呢？

    简言之，这是一个有关素数间关系的问题。

    素数，大家都很熟悉，除了1和它本身以外没有别的因数。我们知道，很多正整数可以分解为其他数的乘积，比如9=3×3，6=2×3等等，这些是合数。但是像11、13、17、19等这些数就做不到上述分解，它们就是素数。若是说两个数互素，指的就是两个整数在素数分解中没有公共的素数因子，比如6=2×3和55=5×11，则称6和55互素。

    对于数论来说，素数是核心概念，“梅森素数”、“孪生素数”等都有着各自的性质和应用，当然这是后话，继续回到“ABC猜想”上来。定义了合数、素数，相信大家对“数学中所有大于1的正整数都可以分解为素数的乘积”这一说法，应该没有异议：合数自然能分解，素数可以看作自己的分解(1乘以它本身)。

    这里还需要弄明白一个概念——无平方因子数，这对于一些人来说可能比较陌生。所谓的无平方因子数，就是一个不能被任何整数的平方(除了1以外)整除的数。举个例子，15和19就是无平方因子数，而16和45却不是，它们分别能被16(即42)和9(即32)整除。

    当一个数n不是无平方因子时，我们作如下处理，提取其“无平方因子”——rad(n)，即用n的素数因子相乘得到最大无平方因子数，比如rad(45)=3×5=15。

    至此，准备工作结束，接下来进入正题：

    既然名曰“ABC猜想”，那么肯定有3个整数A、B、C，先考虑它们三者的乘积，记作ABC，再提取个乘积的无平方因子部分rad(ABC)，此时我们选取A、B、C中较大的一个数值和rad(ABC)比较大小。举个例子，假如A=16，B=17，因此C=33，rad(ABC)=2244，2244远远大于33，再找一些其他的数字来，你会发现出现了相同的结果，这是规律吗？或者就是定理，这么想你可就错了，反例不仅存在而且有无穷多个，比如令A=3，B=125，C=128，rad(ABC)=30<125<128，这时的结果和前例恰恰相反。

    看到这里，是不是有点不知所云？研究这样一个正反都成立的式子，数学家这是想做什么？不要着急，“ABC猜想”现身：数学家们猜测，如果把rad(ABC)放大一下，用它的一个大于1的r次幂来替换(r只需要大于1，哪怕只大一点点，1.00000...0001都行)，这时，会不会发生点儿什么变化呢？即使不一定会大于A、B、C三个数字里面最大的那个，但是会把反例的数目控制为有限多个。

    “ABC”猜想对于数论研究者来说意义重大，但是对我们普通人来说有点难以理解，就像跟一个17世纪的普通人讲解牛顿惯性定律一样。这一猜想是由大卫·麦瑟尔和约瑟夫·厄斯特勒在1985年分别独立提出的。尽管没有费马大定理知名度高，但它有自己的独特作用，如果“ABC猜想“得到证实，将一举解决众多著名的丢番图问题，这其中就包括“费马大定理”哦。

    作者：张连敏

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