姜立夫原名蒋佐，字立夫（１９２０年以后以字为名），１８９０年７月４日生于浙江省平阳县宜山区凤江乡麟头村（今属苍南县）一个农村知识分子家庭。祖父姜植熊是晚清的优贡生，曾设馆授徒；父亲姜炳訚是国学生，务农；兄姜蒋�伲�举人。姜立夫６岁丧父，１０岁丧母，主要由兄嫂抚养成人。早年在祖父所设的家馆读书，１４岁时祖父去世，先后入平阳县学堂和杭州府中学堂（杭州中学前身）学习。１９１０年６月考取游美学务处备取生，次年９月入美国加利福尼亚州立大学（伯克利）学习数学，１９１５年毕业，获理学学士学位。同年转入哈佛大学作研究生。在读研究生期间，他于１９１８年受聘为哈佛大学助教，担任Ｗ．Ｆ．奥斯古德（Ｏｓｇｏｏｄ）教授的助手。１９１９年姜立夫完成博士论文“非欧几里得空间直线球面变换法”，署名Ｃｈａｎ－Ｃｈａｎ Ｔｓｏｏ（姜蒋佐），导师是Ｊ．Ｌ．库利芝（Ｃｏｏｌｉｄｇｅ）教授。获得博士学位后不久，其兄去世，他即刻辞去哈佛大学的工作回国料理后事，并担负起抚养和教育遗孤的责任。

　　１９２０年，姜立夫应聘到刚成立半年的南开大学任教授（直至１９４８年），创办数学系（当时称算学系）并兼系主任。１９２３年，出任中国科学社算学名词审查委员会主席，与胡明复共同负责制定算学名词草案，同年受科学名词审查委员会委托主持审查算学名词。１９２６年秋赴厦门大学讲学，为期一年。１９３４年赴德国汉堡大学进修，后转至格廷根大学，历时两年。在此期间，１９３５年中国数学会成立于上海，被推为该会评议员和数学名词审定委员会委员，同年受聘为中央研究院评议会评议员。１９３６年１０月，姜立夫与胡明复之妹胡芷华在上海结婚。抗日战争期间，他只身随校到昆明，在由北京大学、清华大学和南开大学三校组成的西南联合大学执教，并筹建了“新中国数学会”（任会长）。１９４０年底，受命筹建中央研究院数学研究所。

　　抗战胜利后，姜立夫返回上海与家人团聚，并继续中央研究院数学研究所的筹备工作。１９４６年５月他奉派赴美国进修，６月２日抵美，７月２日入普林斯顿高等研究院开始研究工作，数学所的筹备事宜由陈省身代理。１９４７年７月研究所正式成立，姜立夫坚辞未获批准，被任命为所长，具体工作仍由陈省身代理主持。１９４８年６月姜立夫回国，９月当选为中央研究院院士；１２月陈省身赴美，姜立夫返所工作。１９４９年初，中央研究院迁往台湾，２月姜立夫偕家属到台北；７月，他借口向政府汇报工作只身返回广州，随即佯称病急将家属接回大陆，从而以花甲之年为新中国的数学研究与教育事业贡献了全部余生。

　　中华人民共和国建立前夕，姜立夫于１９４９年８月应聘到广州的一所教会学校——岭南大学创办数学系，任系主任。１９５２年全国高等院校进行院系调整，岭南大学并入筹建中的中山大学，姜立夫担任了中山大学筹备委员会委员和数学系筹备小组成员；１９５９年起任中山大学第一、二届校务委员会委员；１９６３年起兼任校学术委员会委员。其间，姜立夫一直担任数学系几何教学的负责人，并从事圆素和球素几何的研究。１９６６年“文化大革命”开始后，校内教学体系瓦解，姜立夫的身体亦每况愈下，所幸他看到了“文化大革命”的结束。１９７８年２月３日，姜立夫因心力衰竭逝世于广州。姜夫人及长子姜伯驹遵遗嘱将百余册珍贵图书赠予中山大学。